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思考錯誤 - By evima

プログラミングコンテスト参戦記。本番中のメモを公開します
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2013-12-10

SRM 599 Unofficial Editorial - TopCoderの舞台裏

02:58

この記事は Competitive Programming Advent Calendar Div2013 に参加しています。
 注意:とても(とても!)長いです。お忙しい方には一気読みは推奨されません。 

こんにちは、evimaです。

日本時間 12/5 1:00~2:35 に開催された TopCoder SRM 599 の6問中5問を出題しました
(なおプログラミングコンテストの問題を書くのは今回が初めてでした)。

SRMには公式に解説記事(Editorial)があるのですが、これは出題者による非公式Editorialです。

問題のしっかりとした解説は公式Editorialに任せて、コンテスト中や出題にまつわる裏話など雑談を中心に書きます。


関連ページ・記事

公式: Editorial / Statistics / Forum

非公式: 順位表 (otinn.com) / 議論スレッド (Codeforces) /

「今週の競技プログラミング」(Petrさんの記事) / Petrさんのscreencast (YouTube) /

vexorianさん(公式Editorialの筆者)のまとめ記事


SRM 599 from the Admin account

SRMに問題が採用されると、"writer"というアカウントでTopCoderアリーナにアクセスする権利が与えられます。

f:id:evima:20131210221325p:image

このアカウントでは、コンテスト中に提出されたコードを「いつでも」見ることができます。その他に、チャットの"whisper"(Twitterでいうダイレクトメッセージ)の内容が全て表示されます(どの部屋の人の発言でも)。また、このアカウントはadmin扱いされていて、先頭に「admins:」とついた発言が全て表示されます。SRM599ではコンテスト中Admin Lobby Roomにrng_58さん、mystic_tc(ivan_metelsky)さんと僕がいて、コンテスト中の質問に対応したり参加者のコードを見て話したりしていました。

このアカウントから眺めたSRM 599 (Div1)を振り返ってみます。


12/4 22:00 唯一書かなかったDiv1 Mediumの問題文を読む機会がついに与えられた(開催3日前にこんなツイートがあることからわかるように、時間がありませんでした。問題案は10月上旬にりんごさんに見せてOKをもらっていますが…。ちなみに僕はそのツイートの数時間前の12/1 20:00に台湾(ICPC)から帰国しています)。見た目のインパクトが強烈な、多角形に関する問題。難しそう。Div1のジャンルはEasyが数論(ちょっとした貪欲)、Mediumが図形(数学と探索)、HardがDP(木上・数え上げ・グラフ成分濃し)か。ちょっとだけ数学要素が強い気がするけど、それでも相当バランスはとれているのでは。配点はDiv1もDiv2も250-500-950か。6時半頃にはりんごさんはDiv1 Hardは900といっていたが…

12/5 00:17 せっかくなので参加登録しておく。もちろん参加できないが…コンテスタントとしては。

0:55 Registration is ending. 登録者数はDiv1 798人、Div2 1111人+新規254人の合計2163人。ひえぇ…

1:00 Coding Phase is starting.

1:05 想定通りEasyは即座に解かれていく。1:04:53の時点で17人提出。最速は問題を開いてから3分4秒で提出したKankuroさん(ロシア)。writer解とほぼ完全に同じコード。他の人も全然間違っていなさそう。

1:20 この頃には400人(実際の参加者740人)近くEasyを提出しているが、まだMediumの提出がない。

1:22 cgy4everさんがMediumに最初の提出。

1:24 mystic_tcさん(ivan_metelskyさん)「今唯一出てるMediumはL=2で落ちますよね?」うわ…これは想像以上に恐ろしい問題だ。L=4m+2のとき、4辺の長さがm,m,m+1,m+1の長方形を作れる。m=0、つまりL=2のときを除いては…。

1:28 Easyへの提出が500を越える。mysticさんがデータベースを見たところ、この時点で380人Easyを正解している模様(Div1 Easyはチャレンジケースが強いので、僕が用意したケースはそれほど強くなく、チャレンジケースで少しだけ正解者が減りました。詳しくは後述)。ということで1/4くらいが不正解。Easyのサンプルは「少し」弱くしたつもりだが、うまくいったのでは。mysticさん「1/4はいいですね、うまくいきました」

1:35 Mediumへの提出数が10になる。これは相当遅いペース。しかも不正解多し。りんごさん「多分5/9がL=2を忘れてます」

1:40 mysticさん「4/13が通ってます。これはやばいですね…よくなることを望みましょう」

1:44 りんごさん「L=2がコーナーケースだとは気づきませんでした」mysticさん「じゃあどうやって通したんですか?」りんごさん「あまり考えずに最初にif(L%2==0 && L>=4)と書きました」

1:47 evima「質問の数が少なくて驚いてます…いつもこんな感じですか?」mysticさん「はい、問題文が明瞭なときは今日みたいに質問は数個だけです」evima「misofさんのレビューが親切でした…英語の書き方を学ばせてもらいたいです」(僕が書いた問題文はmisofさんのLanguage Reviewを受けて、"She cannot stop eating a mikan halfway."を"She cannot eat just a part of a mikan."に直されたりしました。SRMの問題文はとても読みやすいと思いますが(実際コンテスト中に補足されることもまれ)、misofさんチェックの賜物でしょう)

1:48 evima「48分経ったのにまだHardの提出ゼロですか?作業量が多いのは分かっていますが、Hardから始めた人はそろそろ提出する頃なはず…」mysticさん「Hardから始めた人多かったですっけ?実際作業量多いですし、予想よりもみんなMediumに時間をとられています。ほとんどの人はeasy-medium-hardの順にやってるんじゃないでしょうか」

1:57 Hardの問題文に関してまともな質問("For each valid i, info1[i] and info2[i] are distinct."は「info1[i]に同じ値はなく、info2[i]にも同じ値はない」という意味か?それとも「info1とinfo2のunionに同じ値はない」という意味か?」という内容)が来たので、"That statement simply means, for each i, info1[i] and info2[i] are different."と返した。無事"Thanks"という返答が返ってきて安心。

2:00 りんごさん「うーん、uwiさんなんで"stupid code"を提出したんだろう?」(自動生成されたばかりと思われる、単に0を返すコード(でしたっけ?))(12/17 23:33 追記)ご本人からコメントを頂きました。

2:01 mysticさん「UESTC_elfnessさん(中国)のコードはよさそうですか?」…気づかなかったが1:57にいつの間にかHardに「まともな」(uwiさんごめんなさい)コードが提出されていた。しかし複雑で間に合いそうかどうかよく分からない…そうしている間にPetrさんもHardを提出。

2:02 mysticさん「Petrさんは通りましたがUESTC_elfnessさんは通りませんでした」evima「Petrさんすごすぎる…」

2:03 「ソースコードの長さの上限は?」という質問がくる。さてはMediumの答えを埋め込むつもりですね。mysticさん「すみません、完全に確かではありませんが(あまり質問されないので)、64KBのはずです。確認します」

2:10 mysticさん「すみません64KBについては誤りだったようです。もっと高いです。200KBは確実にいけます。もっと正確な値が欲しければおっしゃってください」ふーん、そんなに長いコードを提出できるという事実は今回みたいなケースでは重要では…?

2:13 uwiさんがHardを再提出。0から10億6までの整数がランダムに返ってくる模様。"present for you :("

2:14 al13nさん(ロシア)もHardを提出。

2:15 Coding Phase is ending.

2:16 mysticさん「Div1 正解数: 473 / 28 / 1 Div2 正解数: 1104 / 160 / 39 今回のDiv1は過酷でしたね…多分250-600-1000の方が適切でした。未来の正確な予測さえできれば…」なおこの数字はチャレンジフェーズ「前」のもので、この後もう少し不正解者が増えました(前述の通り、「Div1 Easyとかはチャレンジケースが強いので、こちらが用意するケースは適当なランダムケースでよい」という話をりんごさんにされて、その通りにしました)。最終的な正解者数: Div1(740) 462(-11) / 23(-5) / 1(-0) // Div2(1257) 1104(-0) / 155(-5) / 39(-0)

2:20 Challenge Phase is starting.

2:20-2:35 EasyもMediumもチャレンジ祭り(Easy141撃墜/686提出、Medium67撃墜/129提出)。Div2もMediumでチャレンジ祭り(271撃墜/725提出)

2:35 Challenge Phase is ending.

2:35 evima「Twitterに投稿して僕がwriterだと言っていいですか?」mysticさん「もちろん」

2:44 System Test 完了。Petrさん完全大勝利(99回目。事実)。

2:48 Twitter上でレート更新の報告が出始める。よかった、終わったんだ…

2:57 cgy4everさん「こんにちは、誰ですか?」「Hardの最後のサンプルに書いてありますが日本のevimaです」「はい日本人だというのは分かってました。問題をありがとう、very interestingでした。」「cgyさんにそう言っていただけてとても光栄です」

- 完 -


では、1問ずつ問題にふれていきます。


Div2 Easy (250): MiniatureDachshund (by evima)

問題

公式問題文

[日本語版問題文]
ダックスフンドはよく知られた犬種である。この問題では、ミニチュアダックスフンドを体重5000グラム以下のダックスフンドと定義する。

ダックスフンドのルンはみかん(サツマオレンジ)が好物であり、今いくつか買ってきたところである。整数の配列mikanが与えられる。これはルンが買ってきたすべてのみかんの重さを表す。有効な範囲内のiについて、mikan[i]はi番目のみかんのグラム単位での重さである。

また、整数weightが与えられる。現在、ルンの体重はweightグラムである。ルンがi番目のみかんを食べると、体重がmikan[i]グラム増える。複数のみかんを食べた場合は、それらの重さの合計ぶん増える。ルンはみかんの一部だけ食べることができない。すなわち、食べると決めたみかんは食べ切る。

ルンはミニチュアダックスフンドのままでいたい。つまり、体重5000グラムを超えたくない。この条件の下で、ルンが食べることのできるみかんの数の最大値を求めて返せ。

制約:
1 <= (mikanの要素数) <= 50
50 <= (mikanの各要素) <= 200
3000 <= weight <= 5000

入出力例1(/5):
mikan: { 100, 100, 100, 100, 50 } 
weight: 4750
-> 3 (4750 + 100 + 100 + 50 = 5000)
雑談と解法

f:id:evima:20131210150506j:image:right

僕のTwitterアイコンの犬はルンという我が家のアイドルです。10歳メス(写真は2年くらい前に撮ったもの)。名前はルンですが実際にはルンルンと呼ばれます。みかん以外にもにんじんが好きだったりします。もちろん肉が嫌いというわけでは全然なく、人間が食べるものは何でも欲しがります。前体重を計ったら6kgあって、それミニチュアダックスフンドの範囲超えてない?という話を家族がしていたのでこういう問題ができました。

さて、この問題に関してアルゴリズム的な説明は不要でしょう。みかんを軽い順に並べて、その順に食べていけばよいです。ここでは、(SRMの競技形式や競技プログラミングそのものに慣れていない人がこの記事を読んでくださっていることを期待して、)他ではあまり触れられないがそこそこ重要な細々としたTipsを紹介します。ガチ勢の方はここは飛ばした方がいいかもしれません。

この問題に正解するためには、おおよそ次のことが求められるでしょう。

1. 英語の問題文を読む

2. プログラミング言語のライブラリを使って配列をソートする

3. ループや条件分岐を使う

4. SRMの環境を理解し、アリーナで動くコードを書く

それぞれについてコメントしていきます。


1. 英語

SRMのようなオンラインコンテストでは、基本的に任意のウェブサイトを参照することができます。これにはYahoo翻訳などのサイトも含まれます。実際僕よりレートが高い人で、コンテスト中にこういうサイトを使っている人もいるようです。

また、入出力例に説明が書かれていることも多いです。今回僕が出題した5問では、問題文を読まなくてもサンプルだけ読めば題意を把握できる程度に詳しく書いたつもりです。

f:id:evima:20131210151542p:image

入出力例を見てから問題文を読む、というのもいいかもしれません。


2. ソート

言語ごとに述べます。

C++: 基本的に std::sort を使えば問題ありません。第3引数に評価関数を与えることもできます。特に欠点が見当たりません。qsortは最悪ケースではO(n^2)時間かかる(SRMではあまり問題にならないが)上、std::sortより使い方が楽ということもないので競技プログラミングでの使用は推奨しません。

Java: Javaでソートする際は要注意です(特にSRM"以外"で)。intなどプリミティブ型を Arrays.sort すると、ある条件が満たされるとクイックソートが使われ、最悪でO(n^2)時間かかってしまうようです。これを避けるには、intならInteger型にしてからソートすればよいそうです。僕自身は普段C++を使うのでよく知りませんが、Javaコーダーの方から聞いた話です。あやふやで申し訳ありません。詳しくは調べてください。

C#, VB, Python: 知りません(どれも触れたことはあるがソートしたことはない)。

その他: SRMでは使えません。他のコンテストにはRubyHaskellなど他の言語が使えるものもあります。


3. ループ、条件分岐

これだけやたらと具体的な内容ですが、「while(1){ ... }をbreakするのは邪道」みたいなこだわりのある人がもしいたら、競技プログラミングではそういうことは忘れてください。

また、この問題の内容からずれますが、競技プログラミングではfor文のループが3重、4重と重なるのは普通のことなので、気にしないでください。


4. SRMの環境

他のオンラインコンテストはほとんどWebページ上で行われますが、SRMの舞台は独特のJavaアプレットであるという時点で相当特殊ですね。それだけでなく、多くのオンラインコンテストで入出力は標準入出力により行われますが、TopCoderの入出力形式は特殊です。

struct MiniatureDachshund{
	int maxMikan(vector<int> mikan, int weight);
};

int MiniatureDachshund::maxMikan(vector<int> mikan, int weight){
	// do something
	return something;
}

こういうコードを書くのですが、コピペするとしても面倒です。そこでこのようなコードを自動生成したりするプラグインを紹介しておきます。SRMではプラグインなしでは相当不利です。やり始めたばかりの方でも導入を推奨します。

外部エディタ系(「普通の」エディタで編集するためのファイルを自動生成): Greed

アリーナエディタ拡張系: KawigiEdit

SRMでプログラムにかけられた制約についても述べておきます。問題ごとに書かれていませんが、プログラムの実行時間は無限に与えられるわけではなく、2秒以内に返り値を返さないと不正解と判定されます(ハードウェア: 8-way 2.3 GHz Intel Xeon E5345 systems(公式FAQから抜粋))。また、使うことができるメモリは64MBまでです。この制限には実行ファイルなどの大きさも含まれるようで、例えばC++だと「実際」には52MB程度(?)までしか使えないようです(参考TopCoderのForumへの僕の投稿))。(12/14 23:55 追記)次回のSRM 600から実行制限時間とメモリ制限が問題ごとに変えられるようになり、デフォルト値が2秒と256MB(!)になるようです(http://apps.topcoder.com/forums/?module=Thread&threadID=806641&start=0&mc=5 …)。デフォルト値から変更されるのは本当に必要な場合に限るとのこと。僕には64MBが少なく感じられることがたまにあった(long dp[51][51][51][51]が52MB近く)ので、うれしいニュースです。


…相当長くなってしまいましたね(他の問題はこれよりだいぶ短いので安心してください)。そろそろwriterとして書いたJavaのコードを貼って、次の問題に行きましょう。なおSRMの問題のwriterは、Javaで全テストケースに対し実行時間1秒以内のコードを書くことになっています(JavaはもちろんC++より遅い)。それなりに時間的余裕のある解法の存在が保証されているわけです。

Writer's solution
//package com.topcoder.tester.solutions.s33450417;/*end autogenerated code*/
import java.util.Arrays;

public class MiniatureDachshund{
	public int maxMikan(int[] mikan, int weight){
		Arrays.sort(mikan); // 上述の通りこれだと最悪O(n^2)時間かかる…が今回は問題なし
		for(int i = 0; i < mikan.length; i++){
			weight += mikan[i];
			if(weight > 5000) return i;
		}
		return mikan.length;
	}
}

Div2 Medium (500): BigFatInteger2 (by evima)

問題

公式問題文

[日本語版問題文]
四つの整数A,B,C,Dが与えられる。A^B(注:AのB乗)がC^Dで割り切れるなら"divisible"を返せ。そうでなければ"not divisible"を返せ。

制約:
1 <= A,B,C,D <= 10^9

入出力例3(/6):
A: 8
B: 100
C: 4
D: 200
-> "not divisible" (8^100 = 2^300, 4^200 = 2^400)
雑談と解法

問題名に「2」とありますが、「1」はDiv1 Easyです。Div1 Easyを作った後、りんごさん(rng_58さん。Administrator。SRMにはりんごさんのOKをもらった問題しか出ない)に「もしかしてd2 medもこれでいける…?」といったら「d2 med はまったく頭使わないものにしてください」とのことだったので、2分くらい考えてこの問題を送ったら「こんな感じです」ということでOKになりました。そんな問題です。

…が、どうやら参加者の方々はけっこう苦戦されたようですね。

参加者: 1257人
→ Medium問題文オープン: 1217人
→ 提出: 725人
→ チャレンジフェーズ生存: 454人
→ システムテスト生存: 155人

と、参加者全体でMediumを正解できたのは12%でした(20%程度を予想していました。そこまで遠くない?)。ということで、今回はEasyよりはきちんと説明しておきます(今回もガチ勢の方は飛ばした方がいいかも)。

とりあえず、約数、倍数などという概念が登場したら、真っ先に「素因数分解したらどうか?」と考えてよいでしょう。そのような場合、それが悪手となってしまうことはあまり考えられません(たまに遠回りになってしまうことはある)。ということで、与えられたAとCを素因数分解しましょう(どうやるの?という方は公式Editorialや「蟻本」を参照してください。後ろにWriterとしての僕のコードもあります)。問題文のExample 3の説明にある通り、Aを素因数分解すれば直ちにA^Bの素因数分解が可能です。

f:id:evima:20131210175821p:image

素因数分解したら、あとはExample 2の説明と同じように各素因数の右肩の指数を比較すればよいです。

f:id:evima:20131210175820p:image

2つほど注意点があります。

1. オーバーフロー。例えば A=536870912 (2^29), B=1000000000 (10^9) のとき、A^B = 2^(29*10^9) となりますが、この指数はintの範囲からはみ出します。こういう大きな数でかけ算をする問題では、基本的にすべての整数をlong( long)にするくらいのつもりでいてよいでしょう。今回はオーバーフローするコードを書くとExample 2に引っかかるようにしたはずですが、いつもそういうケースが入出力例にあるとは限りません。

2. Example 1はA^B=2, C^D=6というケースですが、A^Bに現れる素因数にだけ注目すると、「A^Bは2を1つ持ち、C^Dも2を1つ持つ。問題なし。よってdivisible」と間違えてしまいます。C^Dにだけ現れる素因数もチェックするようにしましょう。逆にA^Bにだけ現れる素因数は無視してもよいです。

Writer's solution
//package com.topcoder.tester.solutions.s33450469;/*end autogenerated code*/
public class BigFatInteger2{
	public String isDivisible(int A, int B, int C, int D){
		for(int i=2; i*i<=C; i++){ // ここはAでなくC (注意点2)
			long p = 0, q = 0; // ここはintでなくlong (注意点1)
			while(A%i == 0){
				p++;
				A /= i;
			}
			while(C%i == 0){
				q++;
				C /= i;
			}
			if(p * B < q * D) return "not divisible"; // p,qがintだとここでオーバーフロー
		}
		if(C > 1){ // この時点で C>1 ならCは素数
			long p = 0;
			while(A%C == 0){
				p++;
				A /= C;
			}
			if(p * B < 1 * D) return "not divisible";
		}
		return "divisible";
	}
}

Div2 Hard (950): SimilarNames2 (by evima)

問題

公式問題文

[日本語版問題文]
きつねのシエルはPC上に名前のリストを保有している。この問題では、「名前」とは単に英小文字からなる空でない文字列のことである。リストのすべての名前は異なる。

ある日シエルが席を離れるとき、PCをロックするのを忘れてしまった。そこにいたずら犬のルンが現れ、リストの名前の順序をランダムにシャッフルしてしまった。

シエルは記憶を頼りに元のリストの名前の順序を復元しなければならない。文字列の列namesと、整数Lが与えられる。namesにはシャッフルされたリストの名前がそのままの順で含まれる。Lは元のリストに関するシエルの記憶を表す。シエルは、0以上L-2以下のiについて、元のリストのi番目(0-indexed)の名前が(i+1)番目の名前のprefixになっていたことを覚えている。

シエルの記憶と矛盾しないような元のリストの名前の順番としてありうるものの個数をXとする。(X modulo 107)を求めて返せ。Xは0である可能性がある。すなわち、シエルの記憶がリストの名前と矛盾している可能性がある。

制約:
2 <= (namesの要素数 (以下n)) <= 50
1 <= (namesの各要素の文字数) <= 50
1 <= L <= n

入出力例2(/6):
names: { "aya", "saku", "emi", "ayane", "sakura", "emika", "sakurako" } 
L: 3
-> 24 (最初の3つは順にsaku, sakura, sakurako。残りは任意)
雑談と解法

また問題名に「2」とありますが、「1」はDiv1 Hard (Div2 Hard ができた時点では Div1 Hard は Div1 Medium でしたが…詳しくは後述)です。当時Div1 Mediumだったものを適当に易しくして、Div2の人にとってはそれなりに難しい問題にしたつもりでした(正解率は1%程度を想定)。が…

やらかしました。こんなに簡単な問題を出したつもりはありませんでした。実際の正解率は3.1%(正解39人/参加1257人)でしたが、この問題が仮にMediumの枠にあれば通せた人はもっと多かったでしょう。この問題に僕が思っていたよりもかなり簡単な解法があることに、コンテスト後に他の人のコードを見て初めて気づきました(りんごさんやmysticさんのテスターとしてのコードもそういう簡単な解法でしたが、準備中に読む余裕がありませんでした)。

僕は、この問題を解くにはまず文字列を木に変換して(詳しくは公式EditorialのDiv1 Hardの項を参照)、その木からL個頂点を選び、0個目が1個目の祖先で、1個目が2個目の祖先で、…となるようにする方法を求めるほかないだろう、と思っていました(こんなふうに)。でもこれはDiv1 Hard(元Medium)の影響を受けすぎで、こんなことをしなくても「普通の」DPで解けます(これも詳しくは公式Editorialを参照)。「本当に」普通のDPで…。なんで気づかなかったんだろう。とはいえ、Medium12%、Hard3%という正解率はそこまでおかしくはなさそうなので、まあよしとしましょう。

Writer's unnecessarily complex solution
//package com.topcoder.tester.solutions.s33450500;/*end autogenerated code*/
import java.util.*;

public class SimilarNames2{
	int n, L;
	List<Integer> g[];
	long nCr[][]; // 二項係数
	final long MOD = 1000000007;
	
	long f(int cur, int depth){ // depth は木の根("")を深さ0としたときのcurの深さ
		long res = 0;
		if(depth - 1 >= L - 1){ // L個の選ばれる頂点のうち一番深いものをcurとすると、
			res += nCr[depth - 1][L - 1]; // 残りL-1個の頂点の候補は(depth-1)個
		}
		for(int i = 0; i < g[cur].size(); i++){ // 子へ再帰
			res += f(g[cur].get(i), depth + 1);
		}
		return res %= MOD;
	}
	
	public int count(String[] names, int L){
		n = names.length;
		this.L = L;
		nCr = new long[n + 2][n + 2];
		for(int i = 0; i <= n + 1; i++){
			nCr[i][0] = nCr[i][i] = 1;
			for(int j = 1; j < i; j++){ // パスカルの三角形
				nCr[i][j] = (nCr[i-1][j-1] + nCr[i-1][j]) % MOD;
			}
		}
		
		g = new ArrayList[n+1];
		for(int i = 0; i <= n; i++){
			g[i] = new ArrayList<>();
		}
		
		for(int i = 0; i < n; i++){ // 木を作る
			int par = n;
			for(int j = 0; j < n; j++){
				if(j != i && names[i].startsWith(names[j])
				&& (par == n || names[j].length() > names[par].length())){
					par = j;
				}
			}
			g[par].add(i);
		}
		
		long res = f(n, 0); // 空文字列に対応するn番が根
		for(int i = 1; i <= n - L; i++){
			res = res * i % MOD;
		}
		return (int)res;
	}
}

Div1 Easy (250): BigFatInteger (by evima)

問題

公式問題文

[日本語版問題文]
小犬のルンは巨大な整数が好きで、一番のお気に入りはA^B(AのB乗)である。

ルンは整数変数Xを持っている。はじめXの値は1となっている。ルンは次の2種類の操作を任意の順序で任意回行える。
・操作1: 素数pを選び、Xをp倍する。
・操作2: Xのその時点での値の正の約数dを選び、Xをd倍する。

二つの整数A,Bが与えられる。初期状態X=1からX=A^Bを得るためにルンが行わなければならない最小の操作回数を返せ。

制約:
2 <= A <= 10^6
1 <= B <= 10^6

入出力例1(/4):
A: 162
B: 1
-> 4
(例えば、
1. p=3を選んで操作1。X:1->3
2. p=3を選んで操作1。X:3->9
3. d=9を選んで操作2。X:9->81
4. p=2を選んで操作1。X:81->162)
雑談と解法

この問題は、僕が例の「ルン」の散歩をしているときに「整数を使った2人用ゲーム」を作ろうとしたら(最近のEasyには数論と2人用ゲームが少なかったので)、1人用ゲームを思いついたのでそれをそのまま問題にしたものです。

参加者: 740人
→ Medium問題文オープン: 737人
→ 提出: 686人
→ チャレンジフェーズ生存: 545人
→ システムテスト生存: 462人

と、全体の正解率は62%でした。それなりに説明しておきます。

とりあえず適当な数で実際に操作をやってみましょう。2^18*3^12*5^6をゴールにしてやってみます。(Div2 Mediumでも書いたように、こういう文脈ではとりあえず素因数分解するとよいです)

1
→ 2 (最終的に2の倍数にする必要があるので、とりあえず操作1で2倍してみる)
→ 2*3 (同じノリでとりあえず3をつける)
→ 2*3*5 (5をつける)
→ 2^2*3^2*5^2 (今後は操作2で3つ一気に増やせるので操作2に移行。とりあえず目一杯大きくしてみる)
→ 2^4*3^4*5^4 (もう一回同じことをしても問題なさそうなのでもう一度)
→ 2^8*3^8*5^6 (5はここでゴールできるのでブレーキをかける。2,3はまだ全力)
→ 2^16*3^12*5^6 (3もゴール。すでにゴールした5は無視)
→ 2^18*3^12*5^6 (終了)

ということで、操作1が3回(素因数の数)、操作2が5回(1を2倍していくと5回で18(最大の指数)以上になる)、合計8回でした。この方針で常に最適解が得られます。Div2 Mediumのように A,B <= 10^9 でも問題なく解けますが、
1. オーバーフローでチャレンジが成功するのは避けたかった
2. A,B <= 10^6 だと素因数分解した後で100万オーダーの解法を探す人が出るかもしれない。10^9だとlog(10^9)とか何かで解くほか選択肢がない
ということで制約は 10^6 にしました。サンプルの説明も、人々を惑わすことを意図しています。

f:id:evima:20131211024823p:image

例1では、わざと操作1を2度行ったり、操作1を最後に行ったり、48 = 2^4*3の代わりに162 = 3^4*2を使って「2」があまり登場しないようにして、「毎回2倍すればよい」という考えから遠ざけたりしています。

f:id:evima:20131211024822p:image

例2でもわざと操作1を3度行い、1→2→4→8→9の代わりに1→2→3→6→9というルートを通ってやはり「毎回2倍すればよい」という考えから遠ざけたりしています。


え、この問題に見覚えがある?はい。3回前のSRM 596にそっくりな雰囲気のDiv1 Easyが出ました。これ

[概要] 長さNの数列aがある。はじめすべての項は0である。
次の2種類の操作を、任意の順序で何度でも行える。
操作1: 項を1つ選んで1を足す。
操作2: 全ての項を2倍する。
長さNの数列desiredArray(以下d)が与えられる。aをdと一致させるために最小で何回の操作が必要か。
- N <= 50, 0 <= d[i] <= 1000

A^Bを素因数分解した結果の指数の部分だけ見ると本当にそっくりですね。「素数をかける」と「1つに1を足す」のが完全に対応します。「約数をかける」のと「全部2倍する」のは…ちょっと違いますね。約数をかける方は「全部『高々2倍』する」です。ブレーキが効きます。「+1 or 2倍」だと、0から7を作るときに0→1→2→3→6→7と若干手こずりますが、「+1 or 高々2倍」だと0→1→2→4→7と速くできます。ブレーキが効く分途中までは全力で進めますからね。

パクり?いや、偶然です。この問題が出来たのは10月上旬で、IncrementAndDoublingの回のSRMの1ヶ月前です。その問題をコンテスト中に見たときは驚きました。さらにwriterが同じ日本人のir5さんというなかなか不思議な出来事でした。

…ですが偶然はそれだけではありませんでした。これがこの問題の準備に使ったメモです。

f:id:evima:20131211010636p:image

最後のサンプルは360^6(上で解法の説明に使ったのと同じ)にするつもりでしたが、どうやら答えの「8」を間違ってBのところに入れてしまったようです(答えは変わらない上、そもそもTopCoderのサンプルの出力は自動で生成されるので問題は起きず。360^6 = 2^18 * 3^12 * 5^6 で、1→2→4→8→16→18 と操作2が4回ではギリギリ届かないところを狙い、間違った解法もある程度サンプルを通させるつもりだった)。

その結果、
24: (11000)(2)
16: (10000)(2)
08: (01000)(2)
一番左のビットの位置: 4 (0-indexed)
立っているビットの数: 4
4 + 4 = 8

ということで、この問題をIncrementAndDoublingと全く同じだと思って解いてもサンプルが通ってしまったみたいです。落ちたコードを見てみると、チャレンジされたコードはかなりの割合でそこを突かれていたようでした。システムテストで落ちたコードも、サンプルのすぐ後のA=524288(2^19),B=1000000のケースで、19000000の二進表記の立っているビットの数(10個)を数えて34という答えを出しているものがとても多いようです。

"Unfortunately, the first solution I opened was correct, but I didn't know it was correct (remember I misunderstood the problem entirely). So I challenge it. The challenge failed and the [Correct answer] provided by the system didn't make any sense to me. That's when I figured that a) My 250 was utterly wrong. b) I had a bad challenge, so this means -25 overall points."(vexorianさんのブログから抜粋)

こういう方がたくさん出たのは僕の入力ミスのせいでした(これに気づいたのは本番の翌日で、チャレンジフェーズ終了直後には間違いに気づいていませんでした)。ごめんなさい / どういたしまして。

Writer's solution
public class BigFatInteger{
	public int minOperations(int A, int B){
		int ans = 0, M = 0;
		for(int i=2; i*i<=A; i++){ // A<=10^6なので i<=A でよいが、
			if(A%i == 0){ // Div2 Mediumのコードからわざわざ変える必要性を感じなかった
				ans++;
				int p = 0;
				while(A%i == 0){
					p++;
					A /= i;
				}
				M = Math.max(M, p);
			}
		}
		if(A > 1){
			ans++;
			M = Math.max(M, 1);
		}
		M *= B;
		int p2 = 1;
		while(p2 < M){
			p2 *= 2;
			ans++;
		}
		return ans;
	}
}

Div1 Medium (500): FindPolygons (by standy)

問題

公式問題文

[問題概要]
(僕が書いた問題ではないので全文の日本語版はなし…といっても問題文はシンプルでこれとほぼ同じ)
整数Lが与えられる。次の条件1,2を満たす多角形が存在しなければ-1を返せ。
存在するなら、そのような多角形の中で辺の数が最小であるようなものの中で
最長の辺と最短の辺の長さの差が最小のものを求め、その差を返せ。

・条件1: すべての頂点が格子点上にある。
・条件2: 外周の長さがちょうどLである。

制約:
1 <= L <= 5000

入出力例2(/4):
L: 12
-> 2.0 (辺の長さが3,4,5の直角三角形)
雑談

この問題の出題者は僕ではなく、standyさん(中国)です(standyさんもTopCoderの問題を書くのは今回が初めてだったようです)。なので出題に関する雑談は当然ありませんし、解法の説明もやめておきます。公式Editorialを見てください。…が、せっかくなのでいくつかの点にふれておきます。

・この問題の「数学パート」には、「Lが偶数なら四角形が作れる(L=2以外なら!)。だが奇数だと作れない。奇数のとき、五角形以上を考える必要はあるだろうか?→奇数のときは何角形でも不可能!」という局面があります。この「奇数のときは不可能」であることは、知識がなければ証明は難しいと思います。ここで、「もし五角形以上を考える必要があるのなら、到底手に負えなくなってしまわないか。500点問題の範囲からは逸脱するだろう。よって考える必要はない」、さらにいえば「もし五角形以上を考える必要があるなら私には解けないだろうから、考える必要はないと仮定してよい」、という考え方をするのは大いにありだと思います。

・とうとうSRMでも「埋め込み」が有効な問題が出ましたね(過去にもあったかもしれませんが)。1<=L<=5000という制約は、(実行時間制限内にではなく)コンテスト時間内に全ケースに対する解を求められれば、その結果をそのまま提出してしまえば正解が得られることを意味します。この問題に「埋め込み」なしで挑むと、上の数学パートをこなした後で全探索の改善が要求されます。ところが埋め込みという選択肢を選べば、数学パートさえ終えれば、分単位の時間をかけてでも5000ケース全てに対する解を求めることで問題を解くことができます。「埋め込み」は「ネタ解法」ではなく、存在しうるテストケースが少ない場合に一般的に活用できる手法と捉えてよいと思います。

Writer's solutionは(当然)ありません。

Div1 Hard (950): SimilarNames (by evima)

問題

公式問題文

[日本語版問題文]
きつねのシエルはPC上に名前のリストを保有している。この問題では、「名前」とは単に英小文字からなる空でない文字列のことである。リストのすべての名前は異なる。

ある日シエルが席を離れるとき、PCをロックするのを忘れてしまった。そこにいたずら犬のルンが現れ、リストの名前の順序をランダムにシャッフルしてしまった。

シエルは記憶を頼りに元のリストの名前の順序を復元しなければならない。文字列の列namesと、二つの整数配列info1,info2が与えられる。namesにはシャッフルされたリストの名前がそのままの順で含まれる。info1,info2は元のリストに関するシエルの記憶を表す。シエルは、有効な範囲内のiについて、元のリストのinfo1[i]番目(0-indexed)の名前がinfo2[i]番目の名前のprefixになっていたことを覚えている。

シエルの記憶と矛盾しないような元のリストの名前の順番としてありうるものの個数をXとする。(X modulo 107)を求めて返せ。Xは0である可能性がある。すなわち、シエルの記憶がリストの名前と矛盾している可能性がある。

制約:
2 <= (namesの要素数) <= 50
1 <= (namesの各要素の文字数) <= 50
0 <= (info1,info2の各要素数) <= 8

入出力例2(/6):
names: { "aya", "saku", "emi", "ayane", "sakura", "emika", "sakurako" } 
info1: { 0, 1, 3, 5 } 
info2: { 1, 2, 4, 6 } 
-> 2
(saku, sakura, sakurako, aya, ayane, emi, emika か
 saku, sakura, sakurako, emi, emika, aya, ayane)
雑談と解法

このSRMはこの問題から作られました(standyさんのMediumが先かもしれませんが)。僕の書いた残り4問の問題がなぜできたかというと、この問題のセットの残りの枠を埋めるためです。この問題だけは、作ろうとしてできたものではありません。

僕の「苗字+名前」は他の人(けっこう身近な人)の「苗字+名前」をprefixとして含んでいます。この事実はどの程度の情報量を持つのでしょう。他に情報が与えられないと難しそうですが、僕とその人を含む名簿を持っている人にとって何ビットの情報であるかは計算できそうです。さらに、「Aさんの名前はBさんの名前のprefixで、BさんはCさんとDさんのprefixで…」のように複数のペアについて情報が与えられたらどうでしょう。…これはもしかして…競技プログラミングの問題ができてしまったのでは?

こうして今年10月の頭にこの問題の前身ができ、りんごさんに見せると「evima さんから d1 med をもらったと思っておきます」という言葉をもらいました。その時点では m <= 5 (m: info1のサイズ)で、素直な木上DPをすれば解ける問題でした(どんなDP?という方は公式Editorial)。

しかし僕が台湾のICPCから帰ってきた翌日、60時間後に迫ったSRM 599の問題がまだ未定らしく、Problem writerを引き受けることにしました。その直後のことです。
りんごさん「d1 med の計算量なんですか?」
evima「まじめにやるとO ( (n+m)*3^k ) (k: m個の条件に1度以上出現する数の個数 (<= 2*m))のはずです」
りんごさん「ちょっとまってください
50 * 5^5 みたいになる気がしてきました」

ということで想定解法の時間計算量がO(n*9^m)からO(n*5^m)に変更され、mの上限が5から8に上昇し、この問題はMediumからHardに格上げされました(どうやるの?という方は公式Editorial)。Hardに提出したことすらない僕がHardのwriterになるとは、夢にも思っていませんでした。

思いがけないことに、本番で唯一Hardを通したPetrさんのコードの時間計算量はその中間のO(n*7^m)だったようです(詳細)。さらに、驚くべきことに、本番で500をスキップして950に挑んだdaskoさん(ポーランド)が鮮やかなO(n*3^m)の解法を(本番中に)発見されていました(詳細)。

まとめ:
O(n*9^m): 旧想定解法(Mediumになるはずだったもの)
O(n*7^m): Petrさんが本番で書いて通した解法
O(n*5^m): 新想定解法
O(n*3^m): daskoさんのスーパー解法

Writer's poorly implemented solution
//package com.topcoder.tester.solutions.s33450509;/*end autogenerated code*/
import java.util.*;

// このコードは問題開発システム(MPSQAS)では最悪ケースで実行時間が0.75秒ほどかかりますが、
// アリーナではなぜか1.9秒ほどになってしまいます。りんごさんからは気にしなくてよいとのこと。

public class SimilarNames{
	int n, m, p3[];
	List<Integer> g[];
	Integer choice1[][], choice2[][]; // choice1は頂点への文字列の割り当て方法の候補
	long dp[][][]; // choice2は集合の子への分配方法の候補
	final int MOD = 1000000007;
	
	void f(int cur){ // DPテーブルを更新するDFS
		for(int child = g[cur].size() + 1; child >= 0; child--){
			if(1 <= child && child <= g[cur].size()){
				f(g[cur].get(child - 1));
			}
			for(int mask = 0; mask < p3[m]; mask++){
				long res = 0;
				if(child == g[cur].size() + 1){ // ベースケース
					res = (mask == 0 ? 1 : 0);
				}
				else if(child >= 1){ // 子に頂点集合を分ける
					int c = g[cur].get(child - 1);
					for(int nmask : choice2[mask]){
						res += dp[c][0][nmask]
						* dp[cur][child+1][mask - nmask] % MOD;
					}
				}
				else{ // 頂点に文字列を割り当てるor割り当てない
					res += dp[cur][child+1][mask];
					if(cur != n){
						for(int nmask : choice1[mask]){
							res += dp[cur][child+1][nmask];
						}
					}
				}
				dp[cur][child][mask] = res % MOD;
			}
		}
	}
	
	public int count(String[] names, int[] info1, int[] info2){
		n = names.length;
		
		g = new ArrayList[n+1];
		for(int i = 0; i <= n; i++){
			g[i] = new ArrayList<>();
		}
		
		for(int i = 0; i < n; i++){ // 木を作る
			int par = n;
			for(int j = 0; j < n; j++){
				if(j != i && names[i].startsWith(names[j])
				&& (par == n || names[j].length() > names[par].length())){
					par = j;
				}
			}
			g[par].add(i);
		}
		
		m = info1.length;
		int k = 0;
		int conv[] = new int[n+1];
		for(int i = 0; i <= n; i++){
			conv[i] = -1;
		}
		for(int i = 0; i < m; i++){ // info1,2の値を0~k-1に変換
			if(conv[info1[i]] == -1){
				conv[info1[i]] = k++;
			}
			info1[i] = conv[info1[i]];
			if(conv[info2[i]] == -1){
				conv[info2[i]] = k++;
			}
			info2[i] = conv[info2[i]];
		}
		
		p3 = new int[m+1];
		p3[0] = 1;
		for(int i = 0; i < m; i++){
			p3[i + 1] = p3[i] * 3;
		}
		
		int digit[][] = new int[p3[m]][m]; // iの3進表記のj桁目
		for(int i = 0; i < p3[m]; i++){
			for(int j = 0; j < m; j++){
				digit[i][j] = i / p3[j] % 3;
			}
		}
		
		List<Integer> choice1[] = new LinkedList[p3[m]]; // 一時的に使うリスト
		List<Integer> choice2[] = new LinkedList[p3[m]];
		boolean invalid[] = new boolean[p3[m]]; // 3進マスクが無効か
		for(int mask = 0; mask < p3[m]; mask++){
			choice1[mask] = new LinkedList<Integer>();
			choice2[mask] = new LinkedList<Integer>();
		}
		
		for(int mask = 0; mask < p3[m]; mask++){
			List<Integer> nonzero = new ArrayList<>(); // 012のうち1と2だけのリスト
			int exists[] = new int[k]; // 頂点が存在するなら1,しなければ0
			boolean removable[] = new boolean[k]; // 頂点を(もし存在すれば)取り除けるか
			int minus[] = new int[k]; // 頂点を取り除いたときに3進マスクから減る値
			for(int i = 0; i < k; i++){
				exists[i] = -1;
				removable[i] = true;
			}
			
			for(int i = 0; i < m; i++){
				int a = info1[i], b = info2[i];
				if(digit[mask][i] == 0){ // 状態0: 「この部分木にはinfo1[i]もinfo2[i]もない」
					if(exists[a] == -1){
						exists[a] = 0;
					}
					else if(exists[a] == 1){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
					if(exists[b] == -1){
						exists[b] = 0;
					}
					else if(exists[b] == 1){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
				}
				else if(digit[mask][i] == 1){ // 状態1: 「この部分木にはinfo1[i]はないがinfo2[i]がある」
					nonzero.add(i);
					if(exists[a] == -1){
						exists[a] = 0;
					}
					else if(exists[a] == 1){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
					if(exists[b] == -1){
						exists[b] = 1;
					}
					else if(exists[b] == 0){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
					minus[b] += p3[i];
				}
				else if(digit[mask][i] == 2){ // 状態2: 「この部分木にはinfo1[i]もinfo2[i]もある」
					nonzero.add(i);
					if(exists[a] == -1){
						exists[a] = 1;
					}
					else if(exists[a] == 0){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
					if(exists[b] == -1){
						exists[b] = 1;
					}
					else if(exists[b] == 0){
						invalid[mask] = true;
						break;
					}
					removable[b] = false;
					minus[a] += p3[i];
				}
			}
			if(invalid[mask]){
				continue;
			}
			
			for(int i = 0; i < k; i++){
				if(exists[i] == 1 && removable[i]){ // 存在して取り除ける頂点を取り除く候補に
					choice1[mask].add(mask - minus[i]);
				}
			}
			
			int nz = nonzero.size();
			for(int mask2 = 0; mask2 < (1 << nz); mask2++){
				int nmask = mask;
				for(int i = 0; i < nz; i++){
					if(((mask2 >> i) & 1) == 1){
						nmask -= digit[mask][nonzero.get(i)] * p3[nonzero.get(i)];
					}
				}
				if(!invalid[nmask]){ // 有効な部分マスクを分配方法の候補に
					choice2[mask].add(nmask);
				}
			}
		}
		
		dp = new long[n+1][][]; // DP配列を木の各頂点の子の数に合わせて用意
		for(int i = 0; i <= n; i++){
			dp[i] = new long[g[i].size() + 2][];
			for(int j = 0; j <= g[i].size() + 1; j++){
				dp[i][j] = new long[p3[m]];
			}
		}
		
		this.choice1 = new Integer[p3[m]][]; // 実行速度を考えてリストから通常の配列へコピー
		this.choice2 = new Integer[p3[m]][];
		for(int mask = 0; mask < p3[m]; mask++){
			this.choice1[mask] = choice1[mask].toArray(new Integer[choice1[mask].size()]);
			this.choice2[mask] = choice2[mask].toArray(new Integer[choice2[mask].size()]);
		}
		
		f(n); // 空文字列に対応するn番が根
		long res = dp[n][0][p3[m] - 1];
		for(int i = 1; i <= n - k; i++){
			res = res * i % MOD;
		}
		return (int)res;
	}
}

おわりに

人様が読むものというより、自分向けの振り返りメモのようなものになってしまいました。申し訳ありません。いくらなんでも長すぎましたね(空白類除いて約26000字)。

しかしこれは、Problem writerとしての体験を少しでも伝えられるよう努力した結果です。一介の大学生が犬の散歩中に思いついた適当な問題を、競技プログラミング界で世界一を争う巨人たちがやすやすと解いていくさまを眺めるのは、ある意味で滑稽であり、同時に感慨深いものでした。

これを読んで、競技プログラミングのコンテストの問題を書くこと、または競技プログラミングそのものに興味をもってくださる方がいらっしゃれば幸いです。

ありがとうございました。


関連ページ・記事 (再掲)

公式: Editorial / Statistics / Forum

非公式: 順位表 (otinn.com) / 議論スレッド (Codeforces) /

「今週の競技プログラミング」(Petrさんの記事) / Petrさんのscreencast (YouTube) /

vexorianさん(公式Editorialの筆者)のまとめ記事

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